Mathématiques du Mahjong Solitaire : un plateau toujours résoluble ?
Tu t’es déjà retrouvé bloqué au Mahjong Solitaire, persuadé que le plateau était impossible ? Sur ce site, ce n’était pas le cas : tous les plateaux distribués peuvent être vidés. Et pourtant, on s’y bloque. Ces deux affirmations ne se contredisent pas, et la raison tient en un peu de logique.
Le point de départ : la tuile libre
Le Mahjong Solitaire consiste à retirer des paires de tuiles identiques d’un empilement. Une tuile ne peut être retirée que si elle est libre, ce qui demande deux choses à la fois :
- rien n’est posé dessus ;
- son côté gauche ou son côté droit est dégagé.
Tout le reste découle de cette règle. Chaque retrait libère d’autres tuiles, celles qui étaient dessous ou à côté. L’ordre dans lequel tu retires les paires décide donc de ce qui deviendra accessible, et c’est là que les choses se compliquent.
Un mélange au hasard peut être sans solution
Imagine qu’on pose les 144 tuiles au hasard sur la forme du plateau. Rien ne garantit alors qu’une solution existe. L’exemple le plus simple : les quatre tuiles d’un même motif empilées les unes sur les autres. Seule celle du sommet est libre, et ses trois partenaires sont toutes dessous. Elle ne partira jamais, et tout ce qu’elle recouvre non plus.
Plus généralement, un plateau est sans solution quand les tuiles se bloquent en boucle : il faut retirer A pour libérer B, B pour libérer C, et C pour libérer A. Savoir si un plateau donné peut être vidé est d’ailleurs un problème difficile pour un ordinateur : les travaux d’informatique théorique sur le sujet le rangent parmi les problèmes dits NP-complets, ceux pour lesquels on ne connaît pas de méthode rapide dans tous les cas.
La solution du site : construire le plateau à l’envers
Plutôt que de mélanger puis de vérifier, le générateur du site fait l’inverse : il part d’une solution et en déduit le plateau. Concrètement :
- Il prend la forme du plateau, avec tous ses emplacements, comme si elle était remplie de tuiles vierges.
- Il choisit deux emplacements libres au sens de la règle, leur attribue le même motif, puis les retire.
- Il recommence avec ce qui reste, paire après paire, jusqu’à ce que la forme soit vide.
La suite des retraits effectués pendant la construction est elle-même une façon de vider le plateau. Il existe donc au moins une solution, par construction, sans avoir besoin de la chercher. C’est vrai pour les quatre niveaux, de Facile (72 tuiles) à Expert (288 tuiles, soit deux jeux complets), et pour les dispositions nommées comme la Tortue.
Résoluble ne veut pas dire gagné d’avance
Une solution existe, mais rien ne t’oblige à la suivre. Le piège vient des quatre exemplaires de chaque tuile. Quand trois tuiles identiques sont libres en même temps, tu dois en choisir deux, et les trois choix ne se valent pas : la troisième devra attendre la quatrième, qui est peut-être enfouie sous elle.
Prends quatre tuiles identiques, A, B, C et D. A, B et C sont libres, D est sous C. Si tu retires A avec B, il te reste C et D, l’une sur l’autre : aucune des deux ne pourra jamais partir, et la partie est perdue alors qu’il reste des dizaines de tuiles. Si tu avais retiré A avec C, D était libérée et s’en allait avec B. Le plateau était résoluble, c’est l’ordre qui ne l’était pas.
Voilà pourquoi une partie peut se terminer sans coup possible. Le plateau n’y est pour rien : une paire retirée plus tôt a fermé la dernière issue.
Pourquoi la disposition change la difficulté
Toutes les formes sont résolubles, mais toutes ne pardonnent pas autant. Deux choses comptent :
- La hauteur. Plus il y a de couches, plus une tuile peut en recouvrir d’autres, et plus un mauvais choix se paie tard. Le niveau Difficile compte 5 couches pour 144 tuiles, contre 4 pour le Classique.
- La longueur des rangées. Dans une longue rangée, seules les deux tuiles des extrémités sont libres. Toutes celles du milieu attendent.
L’article sur les dispositions du Mahjong Solitaire passe en revue les plateaux du site sous cet angle.
Ce que la logique conseille
De tout cela, on tire quelques réflexes simples :
- Quand les quatre tuiles d’un motif sont libres, retire-les toutes. Sur un plateau de 144 tuiles, il n’y a aucun risque : elles ne peuvent plus rien bloquer. (En Expert, chaque motif existe en huit exemplaires, donc la question se repose.)
- Quand trois sont libres, cherche la quatrième avant de choisir. Garde celle qui a le plus de chances de la libérer.
- Préfère les paires qui découvrent le plus de tuiles : le sommet des piles et les bouts des longues rangées. Ce n’est pas une règle absolue, mais c’est un bon point de départ.
Le guide de stratégie développe ces points avec des exemples.
Et si tu es bloqué quand même ?
En solo, trois outils sont là pour ça. Annuler est gratuit et illimité : tu peux remonter jusqu’au choix qui a tout fermé. Indice te montre une paire, contre 10 secondes ajoutées à ton temps. Mélanger redistribue les tuiles restantes contre 30 secondes, et le plateau obtenu reste résoluble.
Le Mahjong du jour est plus strict : une seule tentative par format, et un nombre limité de coups de pouce. Là, la garantie mathématique prend tout son sens. Tout le monde reçoit le même plateau, il a une solution, et la seule question est de savoir qui trouvera un bon ordre le plus vite.
